AndroidのThunderbirdに独自ドメインのメールアドレスを設定し送受信を確認したが、Thunderbirdを開かないと新着メールの通知がこなかった。

結論として、受信トレイ単位の通知・Push設定が必要だった。

メニュー＞対象アカウント＞フォルダーを管理＞受信トレイで「Push」を有効化で直った。